Üslü Sayılar

2 × 2 × 2 × 2 × 2 yazmak hem uzun hem hata riski yüksek. Üslü gösterim bu tekrarlı çarpımı kısa yazmamızı sağlar: 2⁵. Burada 2 sayısına taban, 5 sayısına üs denir. Taban kendisiyle çarpılan sayı, üs ise kaç kere çarpılacağını gösterir. - 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 → Taban 2, üs 5 - 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 → Taban 3, üs 4 - Hatırla: Üs sadece tabanın kaç kere yazılacağını söyler, çarpma işlemini sen yaparsın (-3)⁴ ile -3⁴ aynı şey mi? Hayır! Parantez varsa eksi işareti tabanın parçası, yoksa değil. Bu fark LGS'nin en sevdiği tuzaklardan biri. - (-3)⁴ = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = +81 → Eksi taban 4 kere çarpıldı, çift çarpım pozitif verir - -3⁴ = -(3⁴) = -(81) = -81 → Önce 3⁴ hesaplandı, sonra başına eksi kondu - Kısayol: Negatif tabanın çift üssü → pozitif, tek üssü → negatif (ama sadece parantez varsa!) 2³ × 2⁴ ne demek? Açalım: (2×2×2) × (2×2×2×2). Yan yana toplam 7 tane 2 var, yani 2⁷. Üsleri topladık çünkü çarpma zaten sayıları yan yana dizmek demek. - Kural: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (tabanlar aynı olmalı!) - 5² × 5³ = 5⁵ → Üsler: 2 + 3 = 5 - Dikkat: 2³ × 3⁴ işleminde tabanlar farklı, bu kuralı kullanamazsın! - LGS tuzağı: 4 × 2³ sorusunda 4'ü 2² olarak yaz → 2² × 2³ = 2⁵ 2⁵ ÷ 2³ ne demek? Açalım: (2×2×2×2×2) ÷ (2×2×2). Üstteki ve alttaki ortak 2'ler sadeleşir, geriye 2 tane 2 kalır: 2². Üsleri çıkardık çünkü bölme sadeleştirmek demek. - Kural: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0) - 7⁵ ÷ 7² = 7³ = 343 - 10⁸ ÷ 10⁸ = 10⁰ = 1 → Bir sayının kendisine bölümü 1'dir, sıfır üssün mantığı da buradan gelir (2³)⁴ ne demek? 2³'ü 4 kere kendisiyle çarp: 2³ × 2³ × 2³ × 2³. Her birinde üsler toplanır: 3+3+3+3 = 12, yani 2¹². Toplama 4 kere yapıldığı için aslında 3 × 4 = 12. İşte bu yüzden üsleri çarpıyoruz. - Kural: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ - (5²)³ = 5⁶ → Üsler: 2 × 3 = 6 - Karıştırma: 5² × 5³ = 5⁵ (toplama) ama (5²)³ = 5⁶ (çarpma) → Parantez varsa çarp, yoksa topla! Bunu ezberlemek yerine mantığını kur: 2³ ÷ 2³ = 2⁰ (üsler çıkarılır: 3−3=0). Ama aynı zamanda herhangi bir sayı kendisine bölününce 1 eder. O zaman 2⁰ = 1. - Kural: a⁰ = 1 (sıfır hariç her sayı) - (-5)⁰ = 1, 100⁰ = 1, (2/3)⁰ = 1 - Dikkat: 0⁰ tanımsızdır! LGS'de "tanımsız" şıkkı olan sorularda bunu kontrol et 2⁻³ gören öğrencilerin çoğu "-8" der. Yanlış! Negatif üs sayıyı kesrin altına taşır: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Eksi üs sayıyı negatif yapmaz, küçültür. - Kural: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0) - 5⁻² = 1/5² = 1/25 - Kesirde negatif üs kesri ters çevirir: (1/3)⁻² = 3² = 9 - Mantık: a⁻¹ = 1/a → "eksi üs = bir bölü" demek (2 × 3)⁴ ne demek? Açalım: (2×3) × (2×3) × (2×3) × (2×3). 2'leri ve 3'leri ayrı grupla: (2×2×2×2) × (3×3×3×3) = 2⁴ × 3⁴. Üs çarpanların her birine ayrı ayrı dağıldı. - Kural: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ - (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000 - Tersten de çalışır: 6⁴ = (2 × 3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ → LGS'de sadeleştirme sorularında çok işe yarar Çarpımda üs dağılıyorsa bölümde de dağılır. (2/5)³ = 2³/5³ = 8/125. Mantık aynı: bölmeyi tekrarlı yaz, sonra grupla. - Kural: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0) - (3/4)² = 9/16 - Negatif üsle birleşince: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 → Önce ters çevir, sonra üssü uygula Bu kuralları tek tek bilmek yetmez, sınavda genellikle birden fazla kural bir arada sorulur. Şu özel durumları mutlaka bil: - 1'in her kuvveti 1'dir: 1¹⁰⁰ = 1 (taban 1 ise üs ne olursa olsun sonuç 1) - 0'ın pozitif kuvveti 0'dır: 0⁵ = 0 (ama 0⁰ tanımsız!) - (-1) çift kuvvet = +1, tek kuvvet = -1 → (-1)⁵⁰ = 1, (-1)⁵¹ = -1 - 10'un kuvvetlerinde üs kadar sıfır vardır: 10⁴ = 10000 (4 sıfır) "2⁸ ile 4³ hangisi büyük?" gibi sorularda farklı tabanları aynı tabana çevir. 4 = 2² olduğundan 4³ = (2²)³ = 2⁶. Şimdi 2⁸ ile 2⁶ karşılaştır: taban aynı ve 1'den büyük, üssü büyük olan büyüktür. - Taban > 1 ise: üs büyüdükçe sonuç büyür - 0 < Taban < 1 ise: üs büyüdükçe sonuç küçülür (dikkat, tam tersi!) - Strateji: 4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³, 16 = 2⁴ dönüşümlerini ezberle