📖 Konu Özeti
Asal Sayılar Nedir?
Asal Sayılar
Asal Sayılar
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır.
2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm çift sayılar asaldır.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
1 asal sayı DEĞİLDİR. 0 ve negatif sayılar da asal değildir.
Asal sayı, 1'den büyük olup yalnızca 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen doğal sayıdır. LGS'de önemli olan yalnız tanımı ezberlemek değil; bir sayının bölenlerini doğru okuyup asal çarpanlarına ayırabilmektir.
Temel Yapı - Asal sayıların tam olarak iki farklı böleni vardır: 1 ve kendisi. - İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… - En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır. - 1 sayısı asal değildir (tek böleni vardır).
60 Sayısının Çarpan Ağacı
60 sayısının asal çarpanlara ayrılma süreci
Asal Çarpanlara Ayırma
- Sayıyı en küçük asal çarpanından (2, 3, 5…) başlayarak böl.
- Bölüm 1 olana kadar bölmeye devam et (çarpan ağacı).
- Bulunan asal çarpanları çarpım biçiminde yaz.
- Tekrarlayan çarpanları üslü yaz: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² · 3 · 5.
Bir Sayı Asal mı? Nasıl Anlaşılır - Sayının karekökünden küçük veya ona eşit asallara bak. - Bu asalların hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır. - Örnek: 97 için 2, 3, 5, 7'ye bak (çünkü 11² = 121 > 97); hiçbirine bölünmez, 97 asaldır.
1-50 Arası Asal Sayılar Tablosu
| 1-10 | 11-20 | 21-30 | 31-40 | 41-50 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 11 | 23 | 31 | 41 |
| 3 | 13 | 29 | 37 | 43 |
| 5 | 17 | 47 | ||
| 7 | 19 |
Asal sayılar yeşil ile gösterilmiştir
Aralarında Asal Sayılar - EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal denir. - Aralarında asal sayıların kendisi asal olmak zorunda değildir. - Örnek: 8 ile 9 aralarında asaldır (ortak bölenleri yalnız 1), ama ikisi de asal değildir.
Sık Yapılan Hatalar - 1'i asal sayı saymak - "Bütün asal sayılar tektir" sanmak (2 hem çift hem asaldır) - Aralarında asal ile asal sayıyı karıştırmak - Asal çarpan ararken tekrarlayan çarpanları üslü yazmayı unutmak
🔑 Temel Kavramlar
Bu konuda bilmen gereken temel kavramlar:
- Asal Sayı Tanımı: Sadece 1'e ve kendisine tam bölünen, 1'den büyük doğal sayılardır. Tam iki böleni (1 ve kendisi) bulunur.
- Asal Çarpan: Bir sayının asal olan bölenidir; her doğal sayı asal çarpanlarının çarpımı olarak yazılabilir.
- Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı yalnızca asal çarpanların çarpımı olarak ifade etme işlemidir (örn: 30 = 2 × 3 × 5).
- En Küçük Asal Sayı (2): En küçük ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
- 1'in Asal Olmaması: 1 sadece bir bölene sahip olduğu için asal sayı kabul edilmez. Asal sayı tanımında tam iki bölen şartı vardır.
📌 Asal Sayılar — Özet Kart
- Asal sayı
- 1 ve kendisinden başka böleni olmayan, 1'den büyük sayı
- En küçük asal
- 2 (tek çift asal sayı)
- 1 sayısı
- Asal DEĞİLDİR
- Aralarında asal
- EBOB'u 1 olan sayılar (asal olmaları gerekmez)
⚡ Hızlı Tekrar Kartları
Formülleri ve kavramları kendini yoklayarak tekrar et. Önce soruyu gör, cevabı düşün, sonra kartı çevir.
Önce kendin hatırlamaya çalış — aktif hatırlama daha kalıcıdır.
✏️ Çözümlü Örnekler
Önce kendin çözmeye çalış, sonra adım adım çözümü aç — denemek öğrenmeyi kalıcı kılar.
48 sayısını asal çarpanlarına ayırarak üslü ifade şeklinde yazınız.
- A)48 = 2³ x 3²
- B)48 = 2⁴ x 3²
- C)48 = 2⁴ x 3¹
- D)48 = 2⁵ x 3¹
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- 48'i en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: 48 ÷ 2 = 24
- 24'ü tekrar 2'ye bölelim: 24 ÷ 2 = 12
- 12'yi tekrar 2'ye bölelim: 12 ÷ 2 = 6
- 6'yı tekrar 2'ye bölelim: 6 ÷ 2 = 3
- 3'ü en küçük asal sayı olan 3'e bölelim: 3 ÷ 3 = 1
Doğru cevap: C) 48 = 2⁴ x 3¹
💡 Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken her zaman en küçük asal sayıdan başlayın ve bölünebildiği sürece aynı asal sayıya bölmeye devam edin.
71 sayısı asal mıdır? Neden?
- A)Evet, 71 sayısı asaldır çünkü 1'den ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni yoktur.
- B)Hayır; 71 = 7 × 10 + 1 olduğundan asal değildir.
- C)Hayır; 71 çift olmadığı için asal değildir.
- D)Evet; 71 yalnızca 3 ve kendisine bölünür.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- 71'in karekökünü yaklaşık olarak bulalım. √71 yaklaşık 8.4'tür.
- 8.4'ten küçük asal sayıları belirleyelim: 2, 3, 5, 7.
- 71'in bu asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol edelim:
- 71 ÷ 2 = 35 kalan 1 (bölünmez)
- 71 ÷ 3 = 23 kalan 2 (bölünmez)
Doğru cevap: A) Evet, 71 sayısı asaldır çünkü 1'den ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni yoktur.
💡 Büyük bir sayının asal olup olmadığını kontrol ederken, sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölme kuralını kullanmak size zaman kazandırır.
360 sayısını asal çarpanlarına ayırın ve pozitif bölen sayısını bulun.
- A)360 = 2²·3²·5, 18 pozitif böleni vardır.
- B)360 = 2³·3·5², 24 pozitif böleni vardır.
- C)360 = 2³·3²·5, 20 pozitif böleni vardır.
- D)360 = 2³·3²·5, 24 pozitif böleni vardır.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- 360 ÷ 2 = 180 → 180 ÷ 2 = 90 → 90 ÷ 2 = 45.
- 45 ÷ 3 = 15 → 15 ÷ 3 = 5.
- 5 asal sayıdır.
- Sonuç: 360 = 2³ · 3² · 5.
- Pozitif bölen sayısı: (3+1)(2+1)(1+1) = 4·3·2 = 24.
Doğru cevap: D) 360 = 2³·3²·5, 24 pozitif böleni vardır.
💡 Asal çarpanlara ayırırken en küçük asaldan başla. Aynı asala bölmeye devam et, sonraki asala geç.
50 ile 70 arasındaki asal sayıları listeleyin ve bu asal sayıların toplamını bulun.
- A){51, 57, 63, 69}, toplam 240.
- B){53, 59, 61, 67}, toplam 240.
- C){53, 59, 61, 67, 69}, toplam 309.
- D){53, 59, 61}, toplam 173.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- Aralıktaki sayılar: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69.
- Çiftler asal değil (2 hariç). Tek sayılar: 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69.
- Elemeler: 51=3·17, 55=5·11, 57=3·19, 63=3·21, 65=5·13, 69=3·23.
- Geriye kalan asallar: 53, 59, 61, 67.
- Toplam: 53+59+61+67 = 240.
Doğru cevap: B) {53, 59, 61, 67}, toplam 240.
💡 Büyük sayılar için asal testi yaparken √n'den küçük asallara bölmek yeterlidir (67 için √67 ≈ 8.2; 2, 3, 5, 7'ye bölünmedi → asal).
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
LGS'de bu konuda en çok düşülen tuzaklar ve doğrusu:
Hata: 1'i asal saymak.
Doğrusu: 1 asal değildir; asal sayının tam iki farklı böleni (1 ve kendisi) olur.
Hata: "Bütün asallar tektir" sanmak.
Doğrusu: 2 hem çift hem asaldır; tek çift asal sayıdır.
Hata: Aralarında asal ile asal sayıyı karıştırmak.
Doğrusu: 8 ile 9 aralarında asaldır ama ikisi de asal değildir.
💡 Örnek Soru
Sık sorulan sorular
Asal sayı nedir?
1'den büyük olup yalnızca 1 ve kendisine kalansız bölünebilen sayıdır. En küçük asal sayı 2'dir.
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayının tam olarak iki farklı böleni (1 ve kendisi) olmalıdır; 1'in tek böleni kendisidir, bu yüzden asal değildir.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Sayının karekökünden küçük veya eşit asallara (2, 3, 5, 7…) bölünüp bölünmediğine bakılır. Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır.
Aralarında asal ile asal sayı aynı mıdır?
Hayır. Aralarında asal, iki sayının ortak böleninin yalnız 1 olmasıdır; sayıların kendisi asal olmak zorunda değildir. Örneğin 8 ile 9 aralarında asaldır ama ikisi de asal değildir.