📖 Konu Özeti
Pisagor Bağıntısı Nedir?
Pisagor Bağıntısı
Pisagor Bağıntısı
Dik üçgende kenar ilişkisi
a² + b² = c² (c: hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenar)
3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 (ve katları)
a² + b² = c² → Dik açılı. a² + b² > c² → Dar açılı. a² + b² < c² → Geniş açılı.
Uzaklık, yükseklik, köşegen hesaplama sorularında kullanılır.
Pisagor bağıntısı, bir dik üçgende kenarlar arasındaki ilişkiyi verir: dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. LGS'de önemli olan, hangi kenarın hipotenüs olduğunu doğru belirleyip kuralı yalnız dik üçgenlerde uygulamaktır.
Temel Yapı - Dik üçgende: a² + b² = c² (c hipotenüs). - Hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır. - Bağıntı yalnızca dik açılı üçgenlerde geçerlidir.
Özel Dik Üçgenler (Pisagor Üçlüleri) - 3 - 4 - 5 - 5 - 12 - 13 - 8 - 15 - 17 - 7 - 24 - 25 - Bu üçlülerin katları da dik üçgendir: 6 - 8 - 10, 9 - 12 - 15…
Çözüm Stratejisi
- Üçgenin gerçekten dik olduğundan emin ol.
- Hipotenüsü belirle (en uzun kenar, dik açının karşısı).
- Bilinen kenarları a² + b² = c² bağıntısına doğru yerleştir.
- Özel üçgenlerden birini tanıyorsan uzun işlem yapmadan sonucu yaz.
Pisagor Üçlüleri ve Katları
| Temel Üçlü | ×2 | ×3 | ×4 |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6, 8, 10 | 9, 12, 15 | 12, 16, 20 |
| 5, 12, 13 | 10, 24, 26 | 15, 36, 39 | – |
| 8, 15, 17 | 16, 30, 34 | – | – |
| 7, 24, 25 | 14, 48, 50 | – | – |
LGS'de en sık çıkan Pisagor üçlüleri ve 2-3 katları
Günlük Hayat Uygulamaları - Duvara dayalı merdivenin yüksekliği - Dikdörtgenin köşegen uzunluğu - Uçurtma ipi, rampalar ve kısa yol problemleri
Sık Yapılan Hatalar - Hipotenüsü yanlış kenar seçmek - a² + b² = c² yerine a + b = c yapmak - Pisagor bağıntısını dik olmayan üçgende kullanmak - Özel üçgenleri fark etmeyip her soruda uzun işlem yapmak
Ters Pisagor ile Açı Türü Belirleme
| Karşılaştırma | Üçgen Türü | Örnek (5, 7, 9) |
|---|---|---|
| c² = a² + b² | Dik açılı | 81 = 25+49? → 81 ≠ 74 |
| c² > a² + b² | Geniş açılı | 81 > 74 ✓ → geniş açılı |
| c² < a² + b² | Dar açılı | – |
En uzun kenarın karesini diğer kenarların kareleri toplamıyla karşılaştır
🔑 Temel Kavramlar
Bu konuda bilmen gereken temel kavramlar:
- Dik Üçgen: İç açılarından biri 90° olan üçgendir. Pisagor bağıntısı yalnızca dik üçgenler için geçerlidir.
- Hipotenüs: Dik üçgende 90°'lik açının karşısındaki, en uzun kenardır. Pisagor formülünde 'c' ile gösterilen kenardır.
- Dik Kenarlar: Dik üçgende 90°'lik açıyı oluşturan iki kenardır. Pisagor formülünde 'a' ve 'b' olarak gösterilir.
- Pisagor Bağıntısı Formülü (a² + b² = c²): Dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Eksik kenar bulmada temel formüldür.
- Pisagor Üçlüleri: Pisagor bağıntısını sağlayan tam sayı üçlüleridir. En yaygın olanları: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25).
- Karekök Alma: Pisagor ile eksik kenarı bulurken c² = a² + b² bulunur; sonra c = √(a²+b²) alınır. Karekök almak zorunludur.
📌 Pisagor Bağıntısı
- Bağıntı
- a² + b² = c² (c: hipotenüs)
- Hipotenüs
- Dik açının karşısındaki en uzun kenar
- Özel üçgenler
- 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17
- Kullanım
- Yalnız DİK üçgende geçerlidir
⚡ Hızlı Tekrar Kartları
Formülleri ve kavramları kendini yoklayarak tekrar et. Önce soruyu gör, cevabı düşün, sonra kartı çevir.
Önce kendin hatırlamaya çalış — aktif hatırlama daha kalıcıdır.
✏️ Çözümlü Örnekler
Önce kendin çözmeye çalış, sonra adım adım çözümü aç — denemek öğrenmeyi kalıcı kılar.
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir. AB kenarının uzunluğu 5 cm ve BC kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, AC kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç cm'dir?
- A)17 cm
- B)7 cm
- C)13 cm
- D)60 cm
Pisagor: AB=5, BC=12
AC² = AB² + BC².
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- Verilen üçgenin bir dik üçgen olduğunu ve dik açının B noktasında olduğunu belirleyelim.
- Dik kenarlar AB = 5 cm ve BC = 12 cm'dir. Hipotenüs ise AC kenarıdır.
- Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım: (AB)² + (BC)² = (AC)²
- Değerleri yerine yazalım: 5² + 12² = (AC)²
- Hesaplamayı yapalım: 25 + 144 = (AC)² => 169 = (AC)²
Doğru cevap: C) 13 cm
💡 Pisagor üçlülerini (5, 12, 13) bilmek, bu tür soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.
Bir KLM dik üçgeninde, L açısı 90 derecedir. Hipotenüs KM kenarının uzunluğu 17 cm ve KL kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, LM kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
- A)15 cm
- B)9 cm
- C)25 cm
- D)23 cm
Dik Kenar Bulma
Hipotenüs ve bir dik kenar verilirse diğer dik kenar kök içinde bulunur.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- Verilen üçgenin bir dik üçgen olduğunu ve dik açının L noktasında olduğunu belirleyelim.
- Hipotenüs KM = 17 cm ve bir dik kenar KL = 8 cm'dir. Diğer dik kenar LM'yi bulmalıyız.
- Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım: (KL)² + (LM)² = (KM)²
- Değerleri yerine yazalım: 8² + (LM)² = 17²
- Hesaplamayı yapalım: 64 + (LM)² = 289
Doğru cevap: A) 15 cm
💡 Bilinmeyen kenar bir dik kenar olduğunda, hipotenüsün karesinden diğer dik kenarın karesini çıkarmanız gerektiğini unutmayın.
Kenar uzunlukları 9 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulun.
- A)21 cm
- B)108 cm
- C)225 cm
- D)15 cm
Dikdörtgen Köşegeni (9, 12)
Köşegen = hipotenüs.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- Köşegen, dikdörtgeni iki dik üçgene ayırır.
- Pisagor: c² = a² + b² → c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
- c = √225 = 15 cm.
Doğru cevap: D) 15 cm
💡 (9, 12, 15) üçlüsü (3, 4, 5) üçlüsünün 3 katıdır. Pisagor üçlülerini (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) ezberlemek zaman kazandırır.
Bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğu 10 cm'dir. Yüksekliği kaç cm'dir?
- A)h = 10√3 cm
- B)h = 5√3 cm
- C)h = 5√2 cm
- D)h = 5 cm
Eşkenar Üçgende Yükseklik
Yükseklik tabanı ortadan böler.
🧩 Önce kendin çöz — hazırsan adım adım çözümü aç
- Yükseklik tabanı ortadan ikiye böler; taban parçası 5 cm.
- Dik üçgen: hipotenüs 10, bir dik kenar 5, yükseklik h.
- Pisagor: 10² = 5² + h² → 100 = 25 + h² → h² = 75.
- h = √75 = 5√3 cm ≈ 8,66 cm.
Doğru cevap: B) h = 5√3 cm
💡 Eşkenar üçgende yükseklik formülü h = (kenar·√3)/2 olarak da ezberlenebilir.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
LGS'de bu konuda en çok düşülen tuzaklar ve doğrusu:
Hata: Hipotenüsü yanlış kenar seçmek.
Doğrusu: Hipotenüs daima dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
Hata: a² + b² = c² yerine a + b = c yapmak.
Doğrusu: Kenarların kareleri toplanır; kenarların kendisi değil.
Hata: Dik olmayan üçgende uygulamak.
Doğrusu: Pisagor yalnız dik açılı üçgenlerde kullanılır.
💡 Örnek Soru
Sık sorulan sorular
Pisagor bağıntısı nedir?
Dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olmasıdır: a² + b² = c². Yalnız dik açılı üçgenlerde kullanılır.
Hipotenüs hangi kenardır?
Hipotenüs, dik açının tam karşısındaki kenardır ve üçgenin en uzun kenarıdır. Bağıntıda c² ile gösterilen kenardır.
Özel dik üçgenler (Pisagor üçlüleri) nelerdir?
Kenarları tam sayı olan dik üçgenlerdir: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Bunların katları da (6-8-10 gibi) dik üçgendir. Tanımak işlem yükünü azaltır.
Pisagor bağıntısı her üçgende kullanılır mı?
Hayır. Yalnızca dik açılı üçgenlerde geçerlidir. Bir üçgenin kenarları a² + b² = c² eşitliğini sağlıyorsa o üçgen diktir; sağlamıyorsa dik değildir.