Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları

Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları: Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Bir doğal sayının kendisi ile bir doğal sayının çarpımına ise o sayının katı denir. Çarpan ve kat kavramları, LGS matematik sınavında temel konulardan biridir ve birçok problem türünde karşımıza çıkar. Çarpan (Bölen) Kavramı: • a sayısı b'ye kalansız bölünüyorsa, b sayısı a'nın çarpanıdır (bölenidir). • Her doğal sayı 1'in katıdır ve her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir. • 0 sayısı hariç her sayının çarpan sayısı sonludur. • Asal sayıların tam olarak 2 çarpanı vardır: 1 ve kendisi. • Bileşik sayıların 2'den fazla çarpanı vardır. Kat Kavramı: • a × n = b ise b sayısı a'nın katıdır (n doğal sayı). • Her sayının sonsuz tane katı vardır. • Her sayı kendisinin katıdır (a × 1 = a). • 0 sayısı her sayının katıdır (a × 0 = 0). Asal Çarpanlara Ayırma: 1. Sayıyı en küçük asal bölenine böl 2. Bölümü tekrar en küçük asal bölenine böl 3. Bölüm 1 olana kadar devam et 4. Kullanılan asal bölenlerin çarpımı = sayı Örnek: 360 = 2³ × 3² × 5 Bölen Sayısı Formülü: N = p₁ᵃ × p₂ᵇ × p₃ᶜ ise bölen sayısı = (a+1)(b+1)(c+1). Örnek: 360 = 2³ × 3² × 5¹ → (3+1)(2+1)(1+1) = 24 bölen. Ortak Çarpan ve Ortak Kat: • Ortak çarpan: İki veya daha fazla sayının ortak böleni. • EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Ortak çarpanların en büyüğü. Asal çarpanlarda ortak çarpanların EN KÜÇÜK kuvvetleri alınır. • Ortak kat: İki veya daha fazla sayının ortak katı. • EKOK (En Küçük Ortak Kat): Ortak katların en küçüğü. Tüm asal çarpanların EN BÜYÜK kuvvetleri alınır. Temel Özellikler: • EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b • EBOB(a,b) her zaman EKOK(a,b)'yi böler • Aralarında asal → EBOB = 1, EKOK = a × b • Biri diğerinin katıysa → EBOB = küçük, EKOK = büyük • EBOB ≤ min(a,b) ve EKOK ≥ max(a,b) LGS Soru Tipleri: • "En fazla kaç gruba ayrılır?" → EBOB • "En büyük parça uzunluğu kaçtır?" → EBOB • "Kaç dakika sonra tekrar buluşurlar?" → EKOK • "Ortak katların en küçüğü nedir?" → EKOK • Bölen sayısı bulma → Asal çarpanlara ayır, formül uygula • Kalan problemleri → Sabit fark + EKOK yöntemi