Doğrusal Denklemler

"Bir sayının 3 katından 7 çıkarılırsa 20 elde ediliyor. Bu sayı kaçtır?" Sayıyı x diyelim: 3x − 7 = 20. İşte bu bir denklem — eşittir işaretinin her iki tarafının eşit olduğunu söyleyen matematiksel cümle. Denklemi çözmek = x'i yalnız bırakmak. - Denklem: Eşittir işareti içeren cebirsel ifade → 3x − 7 = 20 - Çözmek: Bilinmeyeni (x'i) yalnız bırakmak → x = 9 - Kural: Eşitliğin bir tarafına ne yaparsan diğer tarafa da yap (denge bozulmasın!) - Her denklemi bir terazi gibi düşün: iki taraf eşit ağırlıkta, birinden alırsan diğerinden de al Denklem çözmenin 4 altın adımı: 1) Parantez varsa aç, 2) Benzer terimleri birleştir, 3) x'li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa topla, 4) x'in katsayısına böl. - 3x − 7 = 20 → 3x = 27 → x = 9 - 5x + 3 = 2x + 18 → 5x − 2x = 18 − 3 → 3x = 15 → x = 5 - Taraf değiştiren terimin işareti değişir: +3 sağa geçince −3 olur, −2x sola geçince +2x olur - LGS ipucu: Çözümünü denkleme yerine koy ve kontrol et — sınav stresinde hata yakalamak için en iyi yol Paydalı denklemlerde önce paydayı temizle! Her iki tarafı ortak paydayla çarp, kesirlerden kurtul. - x/3 + x/4 = 7 → Ortak payda 12: 4x + 3x = 84 → 7x = 84 → x = 12 - (2x−1)/5 = 3 → 2x − 1 = 15 → 2x = 16 → x = 8 - Dikkat: Paydada x varsa (örn: 6/x = 3), x = 0 olamaz! Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır - LGS tuzağı: Kesirli denklemlerde payda 0 yapan değer çözüm olamaz Parantezli denklemlerde önce parantezi aç, sonra çöz. Parantez önündeki katsayıyı veya eksi işaretini her terime dağıt! - 3(2x − 4) = 18 → 6x − 12 = 18 → 6x = 30 → x = 5 - 4(x + 1) − 2(3x − 5) = 0 → 4x + 4 − 6x + 10 = 0 → −2x + 14 = 0 → x = 7 - İç içe parantez: 2[3(x−1) + 4] = 20 → 2[3x − 3 + 4] = 20 → 2[3x + 1] = 20 → 6x + 2 = 20 → x = 3 - Sık hata: −2(3x − 5) açarken −5'i +10 yapmayı unutmak Denklem kurma LGS'nin en sevdiği soru tipidir. Problemi okuyup matematiksel denkleme çevirmek asıl beceri. Anahtar kelimelerı tanı: - "Bir sayının 3 katının 5 fazlası" → 3x + 5 - "İki sayının toplamı 40" → x + y = 40 - "A, B'den 7 yaş büyük" → A = B + 7 - "3 yıl sonra yaşı 2 katı olacak" → (x + 3) = 2(y + 3) - "Bir sayının yarısı" → x/2 ("yarısı" = "ikiye bölümü") y = mx + n denklemi bir doğruyu temsil eder. m eğim (doğrunun dikliği), n ise y-kesim noktasıdır (doğrunun y eksenini kestiği yer). - m > 0 → Doğru sağa doğru yükselir (artan) - m < 0 → Doğru sağa doğru düşer (azalan) - m = 0 → Doğru yatay (y = n, x ekseniyle paralel) - n = 0 → Doğru orijinden geçer (y = mx) - Eğim = Δy/Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) → İki nokta arasındaki yükselme/ilerleme oranı Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az 2 nokta yeterli. En kolay yol: x = 0 koy y'yi bul (y-kesim), y = 0 koy x'i bul (x-kesim). - y = 2x − 4 → x=0: y=−4 → (0,−4) noktası. y=0: 2x=4, x=2 → (2,0) noktası - Bu iki noktayı birleştir → Doğru çizildi! - Eğim: m = 2 → Her 1 birim sağa gidince 2 birim yukarı çıkıyor - LGS'de grafik okuma soruları çok gelir: Grafikten eğim ve denklem bulma İki doğrunun kesişim noktasını bulmak = iki denklemi aynı anda çözmek. Kesişim noktasında her iki denklem de geçerli. - y = 2x + 1 ve y = −x + 7 → Eşitle: 2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2 → y = 5 → Kesişim: (2, 5) - İki paralel doğru (eğimleri eşit): Kesişmez → Denklem sisteminin çözümü yoktur - İki çakışık doğru (aynı denklem): Sonsuz kesişim noktası → Sonsuz çözüm - LGS'de iki doğrunun grafiği verilip kesişim noktası sorulur Denklem sistemleri: İki bilinmeyenli iki denklem → İki yöntem var: Yerine koyma ve yok etme (eleme). - Yerine koyma: Bir denklemden x'i bul, diğerine yerine koy → x + y = 10, x − y = 4 → x = y + 4 → (y+4) + y = 10 → 2y = 6 → y = 3, x = 7 - Yok etme: Denklemleri topla veya çıkar → x + y = 10, x − y = 4 → Topla: 2x = 14 → x = 7 → y = 3 - Hangi yöntem? Bir değişken yalnız bırakılabiliyorsa yerine koyma, katsayılar uygunsa yok etme - LGS ipucu: Yok etme genellikle daha hızlıdır LGS'de doğrusal denklem soru tipleri: - Yaş problemleri: "Annenin yaşı çocuğunun yaşının 4 katı. 6 yıl sonra 3 katı olacak." → Şimdi: A = 4Ç, 6 yıl sonra: A+6 = 3(Ç+6) - Havuz/iş problemleri: "A musluğu 6 saatte, B musluğu 4 saatte doldurur. Birlikte kaç saatte?" → 1/6 + 1/4 = 1/t - Hız-yol-zaman: "Giderken 60 km/h, gelirken 40 km/h. Toplam 5 saat." → x/60 + x/40 = 5 - Karışım: "40 TL'lik ve 60 TL'lik çaydan 50 TL'lik karışım" → 40a + 60b = 50(a+b) - Grafik yorumlama: Verilen grafikten denklem yazma veya eğim/kesim noktası bulma