Konu Özeti
Dönüşüm geometrisi, düzlemde şekillerin konumunu veya yönünü değiştiren işlemleri inceler. LGS'de en sık karşılaşılan dört temel dönüşüm türü yansıma, öteleme, dönme ve simetridir.
YANSIMA (SİMETRİ)
Bir noktanın belirli bir eksen veya noktaya göre ayna görüntüsünü bulmaktır. Yansımada şeklin boyutları ve açıları değişmez.
• x-eksenine göre yansıma: (x, y) → (x, −y) — y işareti değişir
• y-eksenine göre yansıma: (x, y) → (−x, y) — x işareti değişir
• Orijine göre yansıma: (x, y) → (−x, −y) — her iki işaret değişir
• y = x doğrusuna göre yansıma: (x, y) → (y, x) — x ve y yer değiştirir
• y = −x doğrusuna göre yansıma: (x, y) → (−y, −x)
Yansımada şekil ile görüntüsü arasındaki her noktanın eksene uzaklığı eşittir.
ÖTELEME
Bir şeklin tüm noktalarını aynı yönde ve aynı miktarda kaydırmaktır. (a, b) öteleme vektörü ile: (x, y) → (x + a, y + b). Ötelemede şeklin biçimi, boyutu, açıları ve yönelimi korunur; yalnızca konumu değişir. Vektörün birinci bileşeni yatay (sağa +, sola −), ikinci bileşeni dikey (yukarı +, aşağı −) hareketi belirler.
DÖNME
Bir şeklin belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir. Orijin etrafında pozitif yön saat yönünün tersidir (CCW).
• 90° CCW: (x, y) → (−y, x)
• 180°: (x, y) → (−x, −y) — orijine göre yansıma ile aynı sonucu verir
• 270° CCW (veya 90° CW): (x, y) → (y, −x)
• 360°: noktanın kendisi
Dönmede şeklin boyutu ve biçimi değişmez; yalnızca yönelimi ve konumu değişir.
SİMETRİ
Bir şeklin kendi üzerine bineceği şekilde katlanabildiği veya döndürülebildiği durumdur.
• Doğrusal simetri: Bir doğruya göre katlayınca iki yarı üst üste biner. Düzgün n-genin n adet simetri ekseni vardır. Eşkenar üçgenin 3, karenin 4, düzgün altıgenin 6 ekseni vardır. Daire sonsuz simetri eksenine sahiptir.
• Dönme simetrisi: Düzgün n-gen 360°/n açıyla döndürüldüğünde kendi üzerine gelir. Kare için 90°, eşkenar üçgen için 120° dönme simetrisi vardır.
BİLEŞKE DÖNÜŞÜMLER
İki veya daha fazla dönüşümün arka arkaya uygulanmasıdır. Örneğin bir noktanın önce x-eksenine yansıtılıp sonra (3, 2) ile ötelenmesi bileşke dönüşümdür. Bileşke dönüşümlerde sıra önemlidir; işlem sırası değişince genellikle sonuç da değişir. İki yansımanın bileşkesi bir öteleme veya dönme olabilir.
KORUNAN ÖZELLİKLER
Yansıma, öteleme ve dönme eşlenik dönüşümlerdir. Bu üç dönüşümde uzunluklar, açılar, alan ve çevre korunur. Noktalar arası mesafe de değişmez. Bu özellik LGS sorularında sıkça test edilir: "Dönüşümden sonra alan değişir mi?" gibi sorularda cevap hayırdır.
Temel Kavramlar
- x-eksenine göre yansıma: y işareti değişir → (x, y) → (x, −y)
- y-eksenine göre yansıma: x işareti değişir → (x, y) → (−x, y)
- Orijine göre yansıma: her iki işaret değişir → (x, y) → (−x, −y)
- y = x doğrusuna göre yansıma: koordinatlar yer değiştirir → (x, y) → (y, x)
- Öteleme vektörü (a, b): noktayı yatayda a, dikeyde b birim kaydırır
- 90° CCW dönme: (x, y) → (−y, x); 180° dönme: (x, y) → (−x, −y)
- 270° CCW dönme: (x, y) → (y, −x); 90° CW ile aynı sonucu verir
- Düzgün n-genin n simetri ekseni ve 360°/n dönme simetrisi vardır
- Eşlenik dönüşümlerde uzunluk, açı, alan ve çevre korunur
- Bileşke dönüşümlerde işlem sırası sonucu etkiler
Örnek Soru
A(2, −3) noktasının y-eksenine göre yansıması:
(2, −3) → (−2, −3) ✓ x işareti değişti
B(−1, 5) noktasının (3, −2) ile ötelenmesi:
(−1+3, 5+(−2)) = (2, 3) ✓
C(4, 1) noktasının 90° CCW dönmesi:
(4, 1) → (−1, 4) ✓ Kural: (x,y) → (−y, x)