Kareköklü Sayılar

Bir kenarı kaç cm olan karenin alanı 49 cm² olur? 7 cm, çünkü 7 × 7 = 49. İşte bu tersine düşünme işlemine karekök alma diyoruz. √49 = 7 demek "karesi 49 olan sayı 7'dir" demek. Karekök, kare almanın tam tersi işlemidir. - √25 = 5 çünkü 5² = 25. √100 = 10 çünkü 10² = 100 - √0 = 0 (0² = 0). √1 = 1 (1² = 1) - Negatif sayının karekökü YOKTUR! √(-4) tanımsızdır çünkü hiçbir sayının karesi negatif olamaz - Karekök her zaman pozitif sonuç verir: √49 = 7 (−7 değil!) Tam kare sayılar karekökün en iyi arkadaşı. Bunlar bir tam sayının karesi olan sayılardır. İlk 20 tam kareyi ezberle — LGS'de çok işine yarar! - 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100 - 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400 - Tam karelerin karekökü tam sayıdır: √144 = 12, √225 = 15 - Tam kare olmayanların karekökü irrasyoneldir: √2 = 1,4142... (hiç bitmez, tekrar etmez) √48 sınavda karşına çıksa ne yaparsın? Kök içini sadeleştir! 48'in içindeki en büyük tam kare çarpanı bul: 48 = 16 × 3. √48 = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3. Bu işleme "kök dışına çıkarma" denir. - Yöntem: Kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanını bul - √72 = √(36 × 2) = 6√2 (36 en büyük tam kare çarpan) - √200 = √(100 × 2) = 10√2 - √50 = √(25 × 2) = 5√2 - LGS ipucu: En büyük tam kareyi bulamıyorsan adım adım çıkar → √72 = √(4×18) = 2√18 = 2√(9×2) = 2·3√2 = 6√2 Tersi de olur: katsayıyı kök içine alma. 3√5 sayısında 3'ü kök içine sokmak istersen 3'ün karesini al: 3√5 = √(9 × 5) = √45. Bu işlem karşılaştırma ve sıralama sorularında hayat kurtarır! - 3√5 = √(3² × 5) = √45 - 2√7 = √(4 × 7) = √28 - 5√3 = √(25 × 3) = √75 - Karşılaştırma: 3√5 ile 2√7 hangisi büyük? → √45 ile √28 → 45 > 28 → 3√5 > 2√7 Kareköklü sayıları toplarken ve çıkarırken kök içleri AYNI olmalı. Tıpkı 3x + 5x = 8x gibi, 3√2 + 5√2 = 8√2. Kök içleri farklıysa önce sadeleştirip eşitlemeye çalış. - 3√2 + 5√2 = 8√2 ✓ (kök içleri aynı: √2) - √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2 ✓ (önce sadeleştirdik!) - √3 + √5 → sadeleştiremezsin, bu haliyle kalır ✗ - LGS tuzağı: √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ≠ √25 = 5 → Karekökte toplama kök içine dağılmaz! Çarpma ve bölme çok daha kolay — kök içleri aynı olmak zorunda değil! Katsayılar kendi aralarında, kök içleri kendi aralarında işlem görür. - √3 × √5 = √15 (kök içleri çarpılır) - 2√3 × 4√5 = (2×4) × (√3×√5) = 8√15 - √72 ÷ √2 = √(72÷2) = √36 = 6 - (√a)² = a → Bu çok önemli! (√5)² = 5, (√13)² = 13 - √a × √a = √(a²) = a → Aynı kökleri çarpmak kökü yok eder Paydada karekök varsa onu yok etmelisin — buna paydayı rasyonelleştirme (veya kökten kurtarma) denir. Kesri, paydadaki kökle genişlet. - 1/√3 = (1 × √3)/(√3 × √3) = √3/3 - 5/√2 = (5√2)/(√2 × √2) = 5√2/2 - 6/(2√3) = 6/(2√3) × (√3/√3) = 6√3/6 = √3 - LGS'de paydası köklü bırakma! Her zaman rasyonelleştir, sınav cevap anahtarı öyle bekler Kareköklü sayıları sayı doğrusuna yerleştirmek ve sıralamak LGS'nin favori soru tiplerinden biri. İki tam kare arasına sıkışan kökleri bulmak: - √10 nerededir? 3² = 9, 4² = 16 → √9 < √10 < √16 → 3 < √10 < 4 → 3 ile 4 arasında - Daha hassas: 3,1² = 9,61, 3,2² = 10,24 → 3,1 < √10 < 3,2 - Sıralama: 2√3, √11, 3 → Hepsini kök içine al: √12, √11, √9 → √9 < √11 < √12 → 3 < √11 < 2√3 Bir ifadeyi doğal sayı yapmak için kök içini tam kare yapmalısın. √(n) doğal sayı olması için n tam kare olmalı. Bu tarz sorular LGS'nin klasikleri! - √(2n) doğal sayı olsun → 2n tam kare olmalı → n'nin en küçük değeri: n = 2 (2×2 = 4 tam kare) - √(12n) doğal sayı olsun → 12n tam kare → 12 = 2² × 3 → 3 eksik, n = 3 → 12×3 = 36 = 6² ✓ - Yöntem: Kök içini asal çarpanlarına ayır, üssü tek olan asalları tamamla Kareköklü sayılarla ilgili bilmen gereken kritik özellikler: - √(a²) = a (a ≥ 0 için). Dikkat: √((-3)²) = √9 = 3 (−3 değil!) - √(a × b) = √a × √b (kök içi çarpmada dağılır) - √(a / b) = √a / √b (kök içi bölmede dağılır) - √(a + b) ≠ √a + √b → BU YANLIŞ! En sık yapılan hata! √(9+16) = √25 = 5 ≠ √9+√16 = 3+4 = 7 - a > 0 için: a < √a < 1 (0 < a < 1 ise) veya √a < a (a > 1 ise)