📖 Konu Özeti
Eşitsizlikler Konusunun Temeli
Eşitsizlikler, bir ifadenin diğerinden büyük, küçük, büyük-eşit ya da küçük-eşit olduğunu gösterir. LGS'de önemli olan yalnızca çözümü bulmak değil; çözüm kümesini sayı doğrusunda doğru yorumlamaktır.
Eşitsizliklerde Dikkat Edilecek Kurallar
Eşitsizliklerde Dikkat Edilecek Kurallar
Her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarılabilir. İşaret DEĞİŞMEZ.
Pozitif sayıyla çarpma/bölme yapılabilir. İşaret DEĞİŞMEZ.
Negatif sayıyla çarpma/bölme yapılırsa İŞARET DÖNER! (< → >)
Çözüm kümesini sayı doğrusunda göster. Açık nokta: dahil değil, kapalı: dahil.
Temel Semboller - > büyüktür - < küçüktür - ≥ büyük eşittir - ≤ küçük eşittir
Çözüm Mantığı
- Bilinmeyenli ifadeyi sadeleştir.
- Bilinmeyeni bir tarafta topla.
- Gerekirse her iki tarafa aynı işlemi uygula.
- Çözümü sayı doğrusu veya aralık mantığıyla yorumla.
Eşitsizlik İşlem Kuralları
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Her iki tarafa toplama | Yön değişmez | x > 3 → x + 2 > 5 |
| Her iki tarafa çıkarma | Yön değişmez | x ≤ 7 → x − 4 ≤ 3 |
| Pozitif sayıyla çarpma | Yön değişmez | x > 3 → 2x > 6 |
| Negatif sayıyla çarpma | Yön DEĞİŞİR | x > 3 → −x < −3 |
| Pozitif sayıyla bölme | Yön değişmez | 4x ≤ 12 → x ≤ 3 |
| Negatif sayıyla bölme | Yön DEĞİŞİR | −2x ≥ 8 → x ≤ −4 |
Eşitsizliklerde işlem yaparken dikkat edilecek kurallar
Negatif Sayı ile Çarpma-Bölme - Eşitsizliğin en kritik kuralı budur. - Her iki taraf negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse yön değişir. - Bu detay, LGS'de en sık hata yapılan yerdir.
Sayı Doğrusu Yorumu - Açık daire: sınır değer dahil değil - Kapalı daire: sınır değer dahil - Tarama yönü çözümün hangi tarafta olduğunu gösterir
Sık Yapılan Hatalar - Negatifle çarpma veya bölmede yön değiştirmeyi unutmak - Açık ve kapalı noktayı karıştırmak - Sonucu yalnız sayı olarak yazıp aralık yorumunu atlamak - İşlem adımlarında eksi işaretini kaybetmek
🔑 Temel Kavramlar
Bu konuda bilmen gereken temel kavramlar:
- Eşitsizlik sembolleri (<, >, ≤, ≥): Küçük, büyük, küçük-eşit, büyük-eşit sembolleri iki nicelik arasındaki büyüklük ilişkisini gösterir.
- Eşitsizlik çözme kuralları: Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenip çıkarılabilir ve pozitif sayıyla çarpılıp bölünebilir; bu işlemler yönü değiştirmez.
- Negatif sayıyla çarpma/bölmede yön değişimi: Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse eşitsizlik yönü terslenir (< iken > olur).
- Sayı doğrusunda eşitsizlik gösterimi: Çözüm kümesi sayı doğrusu üzerinde gösterilir; < > için içi boş nokta, ≤ ≥ için içi dolu nokta kullanılır.
- Gerçek hayat problemlerini eşitsizliğe dönüştürme: Problem cümlesindeki 'en az, en çok, geçmez, aşmaz' gibi ifadeler uygun eşitsizlik sembolüne çevrilerek denklem kurulur.
✏️ Çözümlü Örnekler
Konuyu pekiştirmek için adım adım çözümlü örnekler:
3x - 5 ≤ 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz ve sayı doğrusunda gösteriniz.
- Eşitsizliğin her iki tarafına 5 ekleyelim: 3x - 5 + 5 ≤ 10 + 5
- Bu durumda 3x ≤ 15 elde ederiz.
- Her iki tarafı pozitif 3'e bölelim: 3x / 3 ≤ 15 / 3
- Sonuç olarak x ≤ 5 bulunur.
- Sayı doğrusunda 5 noktasının içi dolu bir daire ile gösterilir ve 5'in solundaki tüm değerler taranır.
Cevap: x ≤ 5
💡 Sabit terimi karşıya atarken işaretini değiştirmeyi unutmayın. Pozitif sayıyla bölme yaparken eşitsizlik yönü değişmez.
12 - 2x < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
12 − 2x < 4
Negatifle bölünce yön değişir.
- 12'yi eşitsizliğin sağ tarafına atalım: -2x < 4 - 12
- Bu durumda -2x < -8 elde ederiz.
- Her iki tarafı negatif -2'ye bölelim. Negatif sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yönü değişecektir: (-2x) / (-2) > (-8) / (-2)
- Sonuç olarak x > 4 bulunur.
Cevap: x > 4
💡 Negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yaparken eşitsizliğin yönünü mutlaka tersine çevirin. Bu, eşitsizliklerde en sık yapılan hatadır.
Bir otobüs, en fazla 40 yolcu taşıyabilmektedir. Otobüste şu anda 15 yolcu varsa, otobüse binebilecek yolcu sayısını (y) gösteren eşitsizliği yazınız.
Otobüs Kapasitesi
Mevcut + binen ≤ kapasite.
- Otobüsün toplam kapasitesi 40 yolcudur.
- Şu anda otobüste 15 yolcu bulunmaktadır.
- Otobüse binebilecek yolcu sayısı (y) ile mevcut yolcu sayısının toplamı, otobüsün kapasitesini aşmamalıdır.
- Yani, 15 + y ≤ 40 olmalıdır.
- Eşitsizliği çözmek için 15'i karşıya atarız: y ≤ 40 - 15
Cevap: y ≤ 25
💡 'En fazla' ifadesi 'küçük veya eşittir' (≤) anlamına gelir. Problemdeki anahtar kelimeleri doğru yorumlamak önemlidir.
5 − 2x ≤ 3x + 20 eşitsizliğini çözün.
- x'leri sol, sabitleri sağ tarafa topla: 5 − 2x − 3x ≤ 20 → 5 − 5x ≤ 20.
- 5'i sağa at: −5x ≤ 15.
- Negatif sayıya bölerken yön DEĞİŞİR: x ≥ −3.
Cevap: x ≥ −3
💡 Negatif katsayıya bölme veya negatif sayıyla çarpma eşitsizliğin yönünü tersine çevirir — LGS'de en sık hata.
−2 < 2x − 4 ≤ 6 bileşik eşitsizliğinin tam sayı çözümlerini bulun.
- Her tarafa 4 ekle: 2 < 2x ≤ 10.
- 2'ye böl: 1 < x ≤ 5.
- Tam sayı çözümler: 2, 3, 4, 5.
Cevap: {2, 3, 4, 5}
💡 Bileşik eşitsizlikte her üç kısma da aynı işlemi uygula. Açık uçta (<) değer dahil değil, kapalı uçta (≤) dahildir.
💡 Örnek Soru
Sık sorulan sorular
Negatif sayıyla çarpınca neden yön değişir?
Negatif sayılar sayı doğrusunda yönü ters çevirir. Bu yüzden eşitsizlikte negatifle çarpma veya bölme yapılınca işaret yön değiştirir.
Açık ve dolu nokta ne zaman kullanılır?
Eşitlik dahil değilse açık nokta, eşitlik dahilse dolu nokta kullanılır.
LGS'de eşitsizlik soruları nasıl çözülür?
Önce eşitsizliği sadeleştirip bilinmeyeni yalnız bırak. Sonra çözümü sayı doğrusunda doğru yorumla.
En büyük tam sayı çözüm nasıl bulunur?
Çözüm kümesini bulduktan sonra bu aralık içinde kalan en büyük tam sayıyı seçmek gerekir.